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朴素贝叶斯算法原理及实现
|学习笔记Machine Learning|
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一、贝叶斯算法原理

1.条件概率公式

根据文氏图，可以看到在事件B发生的情况下，事件A发生的概率为：

，其中又可写为

因此：

同理又有：

所以：，称为联合概率。

即为条件概率公式。

2.全概率公式

如果事件B1，B2，B3，…，Bn 构成一个完备事件组，即它们两两互不相容，其和为全集；并且P(Bi)大于0，则对任一事件A有：

3.贝叶斯定理

贝叶斯定理是关于随机事件A和B的条件概率（或边缘概率）的一则定理。其中P(A|B)是在B发生的情况下A发生的可能性。

举个例子：一个鸢尾花数据有四个特征，其特征分别为：sepal length、sepal width、petal length、petal width，三个类别，分别为：Iris Setosa、Iris Versicolour、Iris Virginica，现在有一组鸢尾花数据：5.5，2.6，4.4，1.2，判断此鸢尾花属于哪种。

由贝叶斯定理我们可以计算此条件下属于各个类别的概率，

同理，依次可以计算属于类别 Versicolour、Virginica的概率。概率最大的类别即为最有可能的鸢尾花类别。

但是，可以看到并不好计算，此时，我们可以将鸢尾花数据的四个特征看作相互独立（即朴素贝叶斯的核心），所以有：

=

此时我们只需要计算等单个特征值概率即可。

4.高斯分布

上述例子中，sepal length、sepal width、petal length、petal width等特征均为连续变量，该如何计算？我们可以假设在setosa的条件下，sepallen服从高斯分布（正态分布）。根据正态分布的概率密度函数即可计算出，公式如下：

二、朴素贝叶斯处理过程

  • 加载数据：原始数据集载入

  • 分类数据：根据贝叶斯定理对数据进行分类

  • 训练算法：计算不同的独立特征的条件概率

  • 测试算法：计算正确率

  • 使用算法：数据分类

三、朴素贝叶斯分类实现

1.数据集说明

朴素贝叶斯分类实现鸢尾花数据分类，数据集来源：https://archive.ics.uci.edu/ml/datasets/iris。算法实现之前，按照8：2的比例将原始数据集分为训练数据集和测试数据集，原始数据集中每个类别抽取10个样本组成一个总共30个样本的测试数据集。

数据集说明：

Attribute Information:

  1. sepal length in cm
  2. sepal width in cm
  3. petal length in cm
  4. petal width in cm
  5. class:
    — Iris Setosa
    — Iris Versicolour
    — Iris Virginica

2.加载数据集

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"""
    iris数据集载入
"""
def load_data(file):
    x_data=[]
    y_data=[]
    data=[]
    with open(file,'r') as fp:
        lines=fp.readlines()
        for line in lines:
            line=line.strip().split(',')
            x_data.append(line[:-1])
            y_data.append((line[-1]))
            data.append(line)
    return x_data,y_data,data

3.计算训练集均值

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def get_mean(x,lable):
    #获取每个类别的均值
    means=[]
    for j in range(4):
        sum=0
        for i in range(120):
            if (lable==x[i,4]):
                sum+=float(x[i,j])
        means.append(sum/40)
    return means

4.计算训练集方差

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def get_var(x,mean,label):
    #获取每个类别的方差
    vars=[]
    for j in range(4):
        sum=0
        for i in range(120):
            if (label==x[i,4]):
                sum+=(float(x[i,j])-mean[j])**2
        vars.append(sum/40)
    return vars

5.计算先验概率

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def get_prior(x,label):
    #获取每个类别的先验概率
    cnt=0
    for i in range(len(x)):
        if (label==x[i,4]):
            cnt+=1
    prior=cnt/len(x)
    return prior

6.计算后验概率

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def get_postpro(mean,var,xi):
    #获取每个类别的后验概率
    p=(1/np.sqrt(2*math.pi*var))*np.exp(-((float(xi)-mean)**2)/(2*var))
    return p

7.计算似然度

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def get_likelihood(mean,var,x):
    #根据后验概率计算似然度
    p=1
    for i in range(4):
        p=get_postpro(mean[i],var[i],x[i])
        p*=p
    return p

8.训练模型

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def fit_model(x):
    #训练模型
    mean_set=get_mean(x,'Iris-setosa')
    mean_ver=get_mean(x,'Iris-versicolor')
    mean_vir=get_mean(x,'Iris-virginica')
    var_set=get_var(x,mean_set,'Iris-setosa')
    var_ver=get_var(x,mean_ver,'Iris-versicolor')
    var_vir=get_var(x,mean_vir,'Iris-virginica')
    return mean_set,mean_ver,mean_vir,var_set,var_ver,var_vir

9.预测类别

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def predict(x):
    #预测类别
    proba=[]
    mean_set,mean_ver,mean_vir,var_set,var_ver,var_vir=fit_model(X_train)
    p1=get_likelihood(mean_set,var_set,x[:-1])
    p2=get_likelihood(mean_ver,var_ver, x[:-1])
    p3=get_likelihood(mean_vir,var_vir, x[:-1])
    proba.append(p1)
    proba.append(p2)
    proba.append(p3)
    sort=np.argmax(proba)
    return sort

10.效果评估

对于运算结果，在此只截取了一部分，可以看到总准确率为100%，朴素贝叶斯得到的各个类别的相对概率值差别很大，结果显而易见。这个结果并不能说明朴素贝叶斯的分类效果特别好，只是这个鸢尾花测试数据集数据太理想，没有一点误差，数据集很干净。

通过散点图同时展示该测试数据集的四个不同维度：图中的(x, y)位置代表每个样本的花萼的长度和宽度（sepal length、sepal width），散点的大小代表每个样本的花瓣的长度（petal length），而散点的颜色代表一种特定的鸢尾花类型。

四、附录

load_data.py文件，实现数据载入。

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"""
    iris数据集载入
"""
def load_data(file):
    x_data=[]
    y_data=[]
    data=[]
    with open(file,'r') as fp:
        lines=fp.readlines()
        for line in lines:
            line=line.strip().split(',')
            x_data.append(line[:-1])
            y_data.append((line[-1]))
            data.append(line)
    return x_data,y_data,data

naive_bayes.py文件，实现贝叶斯模型训练，测试数据集分类。

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import numpy as np
import math
from load_data import *

def get_mean(x,lable):
    #获取每个类别的均值
    means=[]
    for j in range(4):
        sum=0
        for i in range(120):
            if (lable==x[i,4]):
                sum+=float(x[i,j])
        means.append(sum/40)
    return means

def get_var(x,mean,label):
    #获取每个类别的方差
    vars=[]
    for j in range(4):
        sum=0
        for i in range(120):
            if (label==x[i,4]):
                sum+=(float(x[i,j])-mean[j])**2
        vars.append(sum/40)
    return vars

def get_prior(x,label):
    #获取每个类别的先验概率
    cnt=0
    for i in range(len(x)):
        if (label==x[i,4]):
            cnt+=1
    prior=cnt/len(x)
    return prior

def get_postpro(mean,var,xi):
    #获取每个类别的后验概率
    p=(1/np.sqrt(2*math.pi*var))*np.exp(-((float(xi)-mean)**2)/(2*var))
    return p

def get_likelihood(mean,var,x):
    #根据后验概率计算似然度
    p=1
    for i in range(4):
        p=get_postpro(mean[i],var[i],x[i])
        p*=p
    return p

def fit_model(x):
    #训练模型
    mean_set=get_mean(x,'Iris-setosa')
    mean_ver=get_mean(x,'Iris-versicolor')
    mean_vir=get_mean(x,'Iris-virginica')
    var_set=get_var(x,mean_set,'Iris-setosa')
    var_ver=get_var(x,mean_ver,'Iris-versicolor')
    var_vir=get_var(x,mean_vir,'Iris-virginica')
    return mean_set,mean_ver,mean_vir,var_set,var_ver,var_vir

def predict(x):
    #预测类别
    proba=[]
    mean_set, mean_ver, mean_vir, var_set, var_ver, var_vir = fit_model(X_train)
    p1=get_likelihood(mean_set,var_set,x[:-1])
    p2=get_likelihood(mean_ver, var_ver, x[:-1])
    p3=get_likelihood(mean_vir, var_vir, x[:-1])
    proba.append(p1)
    proba.append(p2)
    proba.append(p3)
    print('proba is ',proba)
    sort=np.argmax(proba)
    return sort

file1='C:\\Users\\wnxy\\PycharmProjects\\NaiveBayesian\\iris_data\\iris_train.data'
file2='C:\\Users\\wnxy\\PycharmProjects\\NaiveBayesian\\iris_data\\iris_test.data'
x_train_data,y_train_data,x_train=load_data(file1)
X_train_data=np.mat(x_train_data)
Y_train_data=np.mat(y_train_data)
X_train=np.mat(x_train)
mean_set,mean_ver,mean_vir,var_set,var_ver,var_vir=fit_model(X_train)
prior_set=get_prior(X_train,'Iris-setosa')
prior_ver=get_prior(X_train,'Iris-versicolor')
prior_vir=get_prior(X_train,'Iris-virginica')
print('prior_set',prior_set)
cnt = 0
with open(file2,'r') as fp:
    x_test=[]
    lines=fp.readlines()
    for line in lines:
        line = line.strip().split(',')
        x_test.append(line)
        sort=predict(x_test[-1])
        if (x_test[-1][4]=='Iris-setosa'):
            y_test=0
        elif (x_test[-1][4]=='Iris-versicolor'):
            y_test=1
        else:
            y_test=2
        if (y_test==sort):
            cnt+=1
        print('The prediction is classified as: ',sort)
        print('The fact is classified as: ', y_test)
print('Accuracy is: ',cnt/len(lines))
y_test=np.array(y_test)
seplen = []
sepwid = []
petlen = []
petwid = []
colors=['purple','y','b']
for i in range(30):
    seplen.append(x_test[i][0])
    sepwid.append(x_test[i][1])
    petlen.append(x_test[i][2])
    petwid.append(x_test[i][3])
    index=y_test[i]
    plt.scatter(float(seplen[i]), float(sepwid[i]), alpha=0.2, s=100*float(petlen[i]), c=colors[index], cmap='viridis')
plt.ylim(2.0,4.0)
plt.title('Iris Data Classification')
plt.xlabel('sepal length in cm')
plt.ylabel('sepal width in cm')
plt.show()
Author: wnxy
Link: https://wnxy.xyz/2020/11/10/Naive-bayes/
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